II. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CONDICIONES NO SENOIDALES

 

2.1. INTRODUCCIÓN

 

El análisis de circuitos en estado estable por lo general se lleva a cabo en estado senoidal. De este análisis senoidal en estado estable se tienen una serie de cantidades eléctricas como potencias, valores rms, etc.,  de las cuales existen ciertas simplificaciones que son muy comunes entre los ingenieros electricistas. En este capitulo se retomarán los estos conceptos pero aplicados a sistemas no senoidales (en presencia de armónicas), para la cual primeramente se iniciará con un repaso del análisis de Fourier.

 

2.2. FUNCIONES PERIÓDICAS

 

Una función periódica se define como:

 

                                                                                                                             (2.1)

 

donde  T es el periodo, y esta definido como:

 

                                                                                                                                         (2.2)

 

La figura 2.1. muestra un conjunto de funciones que cumplen con la definición de funciones periódicas.

 

Figura 2.1. Funciones periódicas


2.2.1. Series de Fourier

 

Si la función f(t) es una función periódica, entonces se puede representar por una serie trigonométrica de la forma

                                                                                                   (2.3)

donde

                                                                                                                               (2.4)

 

y

                                                                                                         (2.5)

 

La figura 2.2. muestra una forma gráfica de interpretar las serie de Fourier

 

Figura 2.2. Representación de los coeficientes de la serie de Fourier


Ejemplo: Obtener la serie de Fourier que representa a función periódica f(t)

 

 

 

Solución: Se tiene que los coeficientes de la serie de Fourier están dados por:

 

                                  

 

                                   

 

                                  

 

por tanto                   

 

donde                                   

 

de esta manera f(t) se puede representar por la siguiente serie

 

                                  


2.3. SERIE COMPLEJA DE FOURIER

 

La serie compleja de Fourier se puede obtener a partir de las series trigonometrías de Fourier.

Para un armonica en perticular n representada por sus coeficientes  y ,

 

 

donde

 

 

Rescribiendo para todas las armónicas en forma de serie compleja se obtiene

 

 

y los coeficientes de la serie se obtienen de

 

 

 

 

 

2.3. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

 

La transformada discreta de Fourier (TDF) es obtenida a partir de la transformada de Fourier de una función muestreada  en un intervalo . La transformada discreta de Fourier esta dada por:

 

Y la transformada inversa discreta de Fourier dada por:

 

 

Donde:

 

F[k] contiene los coeficientes de la serie completa de Fourier

F[n] contiene los puntos discretos de la función f(t)

N número de nuestras

 

 

2.3. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

 

Los siguientes conceptos son fundamentales para el análisis de circuitos eléctricos en estado estable.

 

Considerar el siguiente circuito eléctrico de N elementos pasivos de la figura 2.3., se tiene que

Figura 2.3. Circuito general de N elementos pasivos

 

Por Ley de voltajes y corrientes de Kirchoft se tiene:

 

                                                                                                                                         (2.6)

 

                                                                                                                                           (2.7)

 

2.3.1. Potencia instantánea

 

La potencia instantánea esta definido como la multiplicación entre el voltaje y la corriente, esto es

 

                                                                                       (2.8)

 

esto significa que la potencia entregada por la fuente es igual a la suma de la potencia consumida por todos los elementos del sistema.


2.3.2. Potencia promedio (media o activa)

 

La potencia promedio esta definida por la siguiente ecuación

 

                                                                                                                                     (2.9)

 

esto significa que es la potencia promedio consumida en un periodo de tiempo T .

 

2.3.3. Valores RMS

 

El valor RMS de una función periódica  f(t)  de periodo T esta definido por

 

                                                                                                                            (2.10)

 

2.3.4. Potencia aparente

 

La potencia aparente esta definida como el producto de los valores rms del voltaje y la corriente

 

                                                                                                                                     (2.11)

 

2.3.5. Factor de potencia

 

El factor de potencia es una razón que expresa el grado de utilización de la energía por una carga, y esta definido por

                                                                                                                                            (2.12)

 

Como se puede apreciar, las definiciones anteriores están definidas para funciones periódicas de periodo T, donde estas definiciones se verán simplificadas dependiendo de la característica particular de estas funciones periódicas.

 

2.4. CIRCUITOS LINEALES CON ALIMENTACIÓN SENOIDAL

 

Considerando el circuito lineal alimentado por una fuente senoidal de la figura 2.4, se tiene que su respuesta también es senoidal.

 

Figura 2.4. Representación de carga

 

donde

                                                                                                                 (2.13)

 

Donde la magnitud y el ángulo de fase de la corriente depende de la carga. A partir de estas características, ecuación (2.13), se obtienen las siguientes simplificaciones.

 

2.4.1. Potencia instantánea

 

                                                       (2.14)

 

Mediante esta descomposición de la potencia instantánea, se observa que tiene una componente constante y otras dos componentes cosenoidales de frecuencia doble a la de la fuente.

 

2.4.2. Potencia media

 

Resolviendo para la potencia media se tiene

 

 

                                         (2.15)

 

El resultado muestra que esta potencia media corresponde a la componente constante de la potencia instantánea, lo cual es de esperarse.

 

2.4.3. Valores RMS

 

Sea f(t) una función periódica de la forma:

 

                                                                                                                  (2.16)

 

entonces su valor RMS esta dado por:

 

                              (2.17)

 

2.4.4. Potencia aparente

 

Para e(t) e i(t) definidas anteriormente, se tiene que

 

                                                                                                               (2.18)

 

De esta manera la potencia aparente queda como

 

                                                                                                                      (2.19)

 

2.4.5. Factor de potencia

 

                                                                                                       (2.20)

 

De esta manera el factor de potencia queqa expresado como el coseno del ángulo de defasamiento entre en voltaje y corriente cuando estos dos son senoidales. Mostrando que el factor de potencia depende del tipo de carga.

 

2.4.6. Potencia reactiva

 

Este definición de potencia reactiva aparece para sistemas senoidales, de esta manera se puede obtener partiendo de que

 

                                                                                          (2.21)

 

Definiendo a Q como una Potencia reactiva,

 

                                                                                                                             (2.22)

 

entonces se tiene que

 

                                                                                                                                   (2.23)

 

y

 

                                                                                                                                     (2.24)

 

De estas ecuaciones se puede desprender el triángulo de potencias, el cual no tiene ningún significado físico. Este triángulo de potencias se muestra en la figura 2.5.

 

Figura 2.5. Triángulo de Potencias para sistema senoidal

2.5. CIRCUITOS NO LINEALES ALIMENTACIÓN SENOIDAL

 

Considerando el circuito no lineal alimentado por una fuente senoidal de la figura 2.6, se tiene que su respuesta es no senoidal.

 

Figura 2.6. Representación de la carga

 

esto es

                                                                                                                      (2.25)

 

Entonces se tienen las siguientes simplificaciones

 

2.5.1. Potencia instantánea

 

Se tiene entonces que la potencia instantánea esta dada por:

                                                           (2.26)

 

Esta ecuación muestra que tiene una componente constante solo para n=1, y otras componentes del doble, triple, etc., de la frecuencia fundamental de la fuente.

 

2.5.2. Potencia media

 

Así mismo la potencia media es

 

                                                               (2.27)

 

obsérvese que la integral anterior es diferente de cero solo para cuando n=1, entonces se obtiene que:

 

                                                                                                                             (2.28)

 

Esto muestra que la potencia media depende solamente de las componentes armónicas de la corriente que son iguales a las de la fuente, en este caso solo la fundamental.

 

2.5.3. Valores RMS

 

Sea f(t) de la forma

 

                                                                                                        (2.29)

 

entonces se tiene que

 

                (2.30)

 

Ahora la integral  será diferente de cero solo para cuando m=n, de esta manera:

 

                                                 (2.31)

 

2.5.4. Potencia aparente

 

En este caso se tiene que

                                                                                                        (2.32)

 

entonces

                                                                                                               (2.33)

 

2.5.5. Factor de potencia

 

Utilizando las expresiones anteriores se tiene

 

                                                                                         (2.34)

 

donde el factor de potencia esta dado por la multiplicación del factor de distorsión por el factor de desplazamiento, esto es

 

                                              Factor de distorsión

 

                                                 Factor de desplazamiento

 

Donde el factor de distorsión siempre será 1 . Esto significa que cuando la corriente es no senoidal, nunca se podrá tener un factor de potencia unitario.

 

Aquí se puede observar que cuando la corriente es senoidales, entonces el factor de distorsión es unitario y queda que el factor de potencia es igual al factor de desplazamiento.

 

2.5.6. Potencia reactiva y de distorsión

 

Definiendo a Q como una Potencia reactiva,

 

                                                                                                                              (2.35)

 

donde

 

                                (2.36)

 

y como

                                                                     (2.37)

 

donde D queda definida como una Potencia de Distorsión, la cual esta dada por la multiplicación de las magnitudes de corriente y voltaje de diferentes frecuencias.

 

                                                                                                  (2.38)

 

La figura 2.7 muestra la relación entre las potencias aparente, activa, reactiva y de distorsión.

 

Figura 2.7. Triángulo de Potencias para sistemas no senoidales

 

Ejemplo: Sea un circuito no lineal alimentado por una fuente senoidal e(t) cuya respuesta esta dada por i(t)

 

                       

 

Se pueden obtener los siguientes resultados

 

                                  

 

                                  

                                  

 

Como se puede observar en la presencia de armónicas en la corriente, esta disminuye el factor de potencia en un 81.65% para el caso en que fuera el circuito completamente lineal y potencia activa invariante.

 

2.6. CIRCUITOS LINEALES O NO LINEALES CON ALIMENTACIÓN NO SENOIDAL

 

Considerando el siguiente circuito, de la figura 2.8.,  que puede ser lineal o no lineal alimentado por una fuente no senoidal, se tiene que su respuesta es no senoidal.

 

Figura 2.8. Representación de la carga

 

esto es

                                                                                               (2.39)

 

donde para el caso de una carga lineal M=N.

 

2.6.1. Potencia instantánea

 

La potencia instantánea queda expresada como

 

                                         (2.40)

 

2.6.2. Potencia media

 

Obsérvese que la integral  es diferente de cero solo para cuando m=n, entonces se obtiene que:

 

                                                                    (2.41)

 

Esto muestra que la potencia media esta dada por la suma de las potencias medias de cada armónica. Esto se puede ver claro si se considera superposición de fuentes armónicas en una carga lineal.

 

2.6.3. Valores RMS

 

En este caso tanto la corriente como el voltaje obtienen su valor RMS mediante la siguiente ecuación:

 

                                                                                                                                (2.42)

 

2.6.4. Potencia aparente

 

En este caso se tiene que

                                                                                                    (2.43)

2.6.5. Factor de Potencia

 

                                                            (2.44)

 

de este  factor de potencia ya no se puede hablar de un factor de distorsión ni de uno de desplazamiento.

 

2.6.6. Potencia reactiva y de distorsión

 

Para el caso de definir a Q como una Potencia Reactiva, existen varias definiciones como:

 

                                       Propuesta por Budeanu en 1927

                              Propuesta por A.E. Emanuel en 1990

 

A pesar de que en muchos casos se utiliza a la potencia reactiva dado solamente por la componente fundamental.

 

De esta manera D queda definida como una Potencia de Distorsión, cuando se es especificada una potencia reactiva, como:

 

                                                                                                                        (2.45)