CAPITULO 1

 

 

 

 

 

 

 

                                       

                                               Modelado de líneas de transmisión

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CAPITULO 1

 

MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISION

 

 

 

1.1  INTRODUCCION

 

La línea de transmisión es el elemento más común de los que conforman las redes eléctricas. En conjunto, estos elementos constituyen las arterias a través de las cuales fluye la energía eléctrica desde centros de generación hasta centros de consumo. La transmisión de dicha energía puede realizarse ya sea por corriente alterna (c.a.) o directa (c.d.), y de acuerdo al diseño de la línea puede ser de transmisión aérea o subterránea.

 

Dependiendo del nivel de voltaje al cual se realiza la transmisión de energía eléctrica, se tiene clasificadas a las redes en tres categorías: transmisión, subtransmisión y distribución.

 

En México y otros países, los niveles de voltajes desde 115 kV o mayores son considerados como de transmisión. Cuando se opera con voltajes de 66 hasta 115 kV se dice que la red es de subtransmisión. Por último,  niveles de tensión menores a 34.5 kV están relacionados con redes de distribución.

 

Por otro lado, excepto en pocas situaciones, la transmisión de energía eléctrica es aérea, de modo que el aislante común entre conductores es el aire circundante a los conductores, además de que los dispositivos de generación y de transporte se diseñan para que operen con corriente alterna trifásica.

 

En base a esto, es necesario desarrollar un modelo matemático que represente el comportamiento de la línea de transmisión aérea de corriente alterna y trifásica. Este modelo se caracteriza por cuatro parámetros principales:

 

·        Resistencia serie

·        Inductancia serie

·        Conductancia en derivación

·        Capacitancia en derivación.

 

Primeramente, se desarrolla el modelo de los parámetros serie y posteriormente, se obtienen los correspondientes al efecto en derivación.

 

Aspectos como la transposición de líneas y obtención de modelos monofásicos desacoplados son analizados posteriormente.

 

 

 

1.2    IMPEDANCIA SERIE DE LINEAS DE TRANSMISION.

 

Los dos parámetros serie de la línea de transmisión aérea se analizan en conjunto, aunque previamente se mencionarán algunos conceptos concernientes a la resistencia.

 

1.2.1    Resistencia de la Línea

 

La resistencia en conductores de una línea es causa de las pérdidas por transmisión, las cuales están dadas por la expresión I2R, donde I es la corriente que fluye a través de conductor y R es la resistencia del mismo. Estas pérdidas tienen que ser mínimas, lo cual depende de un diseño adecuado de la línea, tomando en consideración factores como el calibre de conductores, número de los mismos por fase, tipo de material e influencia del medio ambiente, entre otros.

 

1.2.1.1     Resistencia de Corriente Directa

 

La resistencia de c.d. se caracteriza por tener una densidad de corriente distribuida uniformemente en toda la sección transversal del conductor, la cual puede calcularse mediante la expresión siguiente:

 

                                                                                                                    (1.1)

 

donde:

 

r  =   resistividad del material conductor (W-m)

l   =   longitud del conductor (m)

A =   área efectiva de la sección transversal del conductor (m2)

 

Si se utiliza el sistema inglés, en lugar del métrico decimal, entonces la longitud y área del conductor estarán dadas en ft y ft2, respectivamente. Sin embargo, puede usarse cualquier sistema congruente de unidades, de modo que resulte que la unidad de longitud esté dada en kilómetros o millas, que es lo más usual.

 

1.2.1.2   Efecto de la Temperatura Sobre la Resistencia.

 

Un cambio en la temperatura causará una variación en la resistencia, en forma prácticamente lineal, dentro del margen normal de utilización de la línea de transmisión. Esta variación está dada por la siguiente ecuación:

 

                                                                                                                        (1.2)

 

donde R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas t1 y t2, respectivamente. La constante T depende del material conductor y se define como la temperatura a la cual la resistencia del conductor es igual a cero. Para el aluminio T es aproximadamente 228. Puede concluirse que un incremento de temperatura causa un aumento de la resistencia y viceversa.

1.2.1.3   Efecto Piel

 

Para el análisis de este efecto, será necesario considerar lo siguiente:

 

1.     A partir de la Figura 1.1, donde se muestra un conductor seccionalizado transversalmente, en el cual se ha dibujado dos filamentos hipotéticos iguales además del centro, se hará el análisis.

Figura 1.1.  Sección transversal de un conductor mostrando dos de sus filamentos.

 

2.     Las dimensiones del conductor son uniformes, es decir, si se secciona el conductor en diferentes tramos, todas las secciones transversales resultarán ser iguales.

 

3.     La corriente será la misma para toda la longitud del conductor, esto es, la corriente que entra por un extremo del conductor, será la misma que saldrá por el otro extremo.

 

4.     Apoyándose en las dos suposiciones anteriores, puede suponerse que cualquier sección transversal del conductor será una superficie equipotencial.

 

Al medir una caída de tensión en cada uno de los filamentos, ésta será la misma para ambos (suposición 4). En corriente directa, la condición anterior se satisface con la densidad de corriente uniforme que resultará en caídas de tensión por resistencia uniformes. Si se trata de corriente alterna, además de la caída de tensión por resistencia, existirá un voltaje inducido en cada filamento, resultante del campo magnético variante producido por la corriente en el propio conductor. Las líneas de flujo de este campo magnético circularán de acuerdo al eje del conductor y algunas encerrarán al filamento B sin hacerlo con el A, debido a la posición geométrica de ambos. Las reactancias alejadas del centro (como la del filamento A), serán menores que las de los filamentos alrededor del centro del conductor (como el filamento B). Por lo tanto, para producir caídas de tensión iguales, las densidades de corriente deben ser mayores cerca de la periferia del conductor, para compensar la reactancia menor.

 

El resultado final es que la energía electromagnética no se transmite en el interior del conductor sino que viaja en las regiones que rodean el conductor debido a que la distribución de densidades de corriente a través de la sección transversal del conductor no es uniforme, siendo este fenómeno conocido como efecto piel, el cual causará que la resistencia de c.d. se incremente ligeramente. Esta es la llamada resistencia de c.a. Por otro lado, la inductancia debida al flujo interno en el conductor se verá disminuida.

 

Si se expresa tales conclusiones mediante fórmulas, se tendrá lo siguiente:

 

 

y para la inductancia interna:

 

donde  aR  y  aL  son ligeramente mayor y menor que la unidad, respectivamente.

 

1.2.1.4   Efecto Corona

 

Aunque este fenómeno no afecta a la resistencia en una forma directa, sí influye en la eficiencia de operación de la línea de transmisión, debido a que su existencia producirá pérdidas adicionales.

 

Este efecto está relacionado con la producción de campos eléctricos debidos a altas densidades de carga cuya intensidad es capaz de ionizar el aire circundante a los conductores de fase de la línea de transmisión. Una ionización extrema resultará en la presencia de arcos eléctricos entre conductores. Este efecto puede detectarse audiblemente por el zumbido que produce y visualmente por el aura luminosa que se presenta en cada conductor de fase.

 

El efecto corona producirá pérdidas e interferencias radiofónicas. Tales pérdidas serán relativamente pequeñas en ambientes secos y tienden a incrementarse en ambientes más húmedos, llegando inclusive a magnitudes 15 veces mayores.

 

Comúnmente, estas pérdidas se expresan en kW/km, pero resulta difícil de obtener un modelo analítico que permita calcularlas de manera exacta, debido a la gran cantidad de variables involucradas. Los resultados son obtenidos usando relaciones empíricas y métodos estadísticos. Sin embargo, el efecto corona debe tomarse en cuenta para diseñar adecuadamente las líneas de transmisión.

 

 

1.2.2    Impedancia Serie de Líneas de Transmisión Monofásicas.

 

Como se mencionó anteriormente, este parámetro está compuesto por los efectos resistivo e inductivo de la línea. El desarrollo de esta parte del modelo considerará el efecto de retorno por tierra.

 

Para  condiciones  normales  de  diseño,   la   reactancia   correspondiente  a  la  inductancia,  xL = wL, es la parte dominante de la impedancia serie, la cual determina el efecto sobre la capacidad de transmitir y la caída de tensión. Este dominio de la inductancia sobre la resistencia se aprecia por medio de la relación  x/r >> 1  para líneas de transmisión de alta tensión.

 

El efecto de retorno por tierra consiste en considerar que las corrientes en las líneas tienen una trayectoria de retorno a través de los neutros de los equipos conectados a tierra. La tierra se simula por medio de un conductor ficticio de longitud infinita, situado debajo de la superficie del terreno que tiene una resistividad uniforme y paralelo a la línea. A este conductor se le supone un radio medio geométrico, denotado por Dsg, igual a la unidad de longitud de las coordenadas entre los conductores de la línea. La Figura 1.2 representa esta situación.

Figura 1.2. Línea monofásica considerando el efecto de retorno por tierra.

 

 

Al observar la Figura 1.2, las caídas de tensión están dadas por:

 

                                                                                (1.3)

 

Sabiendo que  , se deduce que  . Restando renglones en la ecuación (1.3):

 

 

Además,

 

 

Esta expresión puede escribirse en términos de una sola corriente, resultando:

 

 

donde:

 

                                                                                                        (1.4)

 

cuyas componentes son impedancias primitivas, las cuales, a su vez, están definidas por las siguientes expresiones:

      W/ul                                                                                                 (1.5)

 

donde ra es la resistencia del conductor de la línea, rg es la resistencia del supuesto conductor que representa al efecto de retorno por tierra; w es la frecuencia en rad/s; La y Lg son las inductancias propias de la línea y del efecto de retorno por tierra, respectivamente, mientras que Mag representa al efecto mutuo inductivo entre ambos conductores; ul representa cualquier unidad de longitud y k es una constante de conversión para unidades de longitud.

 

Si se substituye las expresiones (1.5) en la ecuación (1.4), se obtiene lo siguiente:

 

                                                                           (1.6)

 

donde las inductancias están definidas por las expresiones siguientes:

 

 

                                                                                                                  (1.7)

 

 

En estas expresiones (1.7), S es la longitud del conductor  a.  Si se suman las inductancias, tal como se describe en (1.6),

 

                                                                                           (1.8)

 

Sabiendo que  Dsg = 1, se definirá a la constante De como:

 

                                                                                                                            (1.9)

 

y substituyendo en la ecuación (1.7), la impedancia de la línea estará dada por:

 

                                                                                           (1.10)

 

En las expresiones anteriores, Dsa es el Radio Medio Geométrico (RMG) del conductor a. Para calcular el valor de la resistencia del efecto de retorno por tierra, Carson encontró que, empíricamente, ésta puede calcularse mediante las fórmulas siguientes:

 

                                                                                  (1.11)

 

donde  f  es la frecuencia en ciclos/s o Hz. El cálculo de la constante De  está dado por:

 

                                                                                        (1.12)

 

siendo r  la resistividad de la tierra en  W-m.

 

1.2.3    Ecuaciones de Carson

 

En 1926, el Dr. John R. Carson publicó sus ecuaciones para calcular la impedancia de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra. Estas ecuaciones actualmente son muy utilizadas para el cálculo de parámetros de líneas de transmisión aérea y subterránea.

 

Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, sólida e infinita con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterrizamiento son despreciables para frecuencias de estado estacionario. Las ecuaciones de Carson son las siguientes:

 

       W/mi                                         (1.13)

 

       W/mi                                                               (1.14)

 

donde:

 

  =   impedancia propia del conductor i.

 

  =   impedancia mutua entre los conductores  i  y  j.

 

   =   resistencia del conductor  i.

 

  =   frecuencia en rad/s.

 

G   =   0.1609347

 

 =   radio exterior del conductor i.

Los factores , ,  y   se determinan mediante las Series de Carson siguientes:

 

 

 

donde 

 

 

Las distancias  y   se calculan de acuerdo a lo mostrado en la Figura 1.3, donde las primeras relacionan a los conductores con sus imágenes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 1.3    Conductores de una línea monofásica y sus imágenes.

 

 

Normalmente,  >>,  de modo que los ángulos  serán pequeños y las funciones Cos(.) dentro de las expresiones de la Serie de Carson podrán ser aproximadas a 1. Para una distancia = 100 pies, una frecuencia de 60Hz y una resistividad de 100 W-m, se tiene que:

 

 

de modo que puede aproximarse a lo siguiente:

 

 

De la misma manera,

 

 

que, de acuerdo a los resultados anteriores, puede simplificarse a:

 

 

Analizando de manera más detallada la expresión anterior, se obtiene lo siguiente:

 

Resultando:

 

 

Mediante estas aproximaciones, las ecuaciones de Carson pueden simplificarse de manera significativa. Tanto las impedancias serie como mutua están afectadas por el término 2Q, de tal manera que:

 

                                                                                      (1.15)

 

                                                                                      (1.16)

 

Substituyendo las expresiones anteriores en (1.13):

 

 

                                                                              (1.17)

 

donde:

 

 

 

                                                                                                         (1.18)

 

2                                                                                                (1.19)

 

 

Substituyendo (1.15) dentro del paréntesis en (1.17), este resulta en lo siguiente:

 

Definiendo:

 

    ft

 

Entonces,

 

                          W/mi                                                                   (1.20)

 

 

De la misma manera:

 

                          W/mi                                                                          (1.21)

 

Nótese la semejanza entre los valores que la referencia [8] presenta para  k  y  para , los cuales se presentan en la Tabla 1.1.

 

 

                            Tabla 1.1   Constantes para el cálculo de inductancias. 

Constante

Unidad de Longitud

Logaritmo Natural

Logaritmo Base 10

k

 

 

2 p k

 

km

mi

 

km

mi

0.0002000

0.0003219

 

0.001257

0.002022

0.0004605

0.0007411

 

0.002893

0.004656

f = 50 Hz

f k

 

 

w k

 

 

km

mi

 

km

mi

 

0.01000

0.01609

 

0.06283

0.10111

 

0.02302

0.03705

 

0.14460

0.23280

f = 60 Hz

f k

 

 

w k

 

 

km

mi

 

km

mi

 

0.01200

0.01931

 

0.07539

0.12134

 

 0.02763

 0.04446

 

  0.17360

0.27940

 

 

 

 

Las expresiones siguientes son una forma alterna de las ecuaciones de Carson:

 

 

Términos diagonales                         Zii-g = (ri+Rii-g) +j (xi + Xii-g)

 

Términos fuera de la diagonal           Zij-g = Rij-g + jXij-g

 

Donde

ri es la resistencia interna del conductor i

xi es la reactancia interna del conductor i

Rii-g es la componente resistiva externa de la auto impedancia Zii-g considerando el efecto de retorno por tierra

Xii-g es la componente reactiva externa de la auto impedancia Zii-g considerando el efecto de retorno por tierra

Rij  y  Xij son las componentes resistiva y reactiva de las impedancias mutuas Zij-g respectivamente considerando efecto por tierra.

 

Las componentes internas ri  y  xi para un conductor particular se obtienen de los manuales de conductores. Las componentes externas se encuentran mediante las ecuaciones:

 

           

 

1.2.4     Impedancia Serie de la Línea Trifásica

 

Para calcular la impedancia serie de una línea trifásica, considerando el efecto de retorno por tierra, se procede en forma similar al cálculo de la impedancia serie de la línea monofásica. La configuración de los circuitos se muestra en la Figura 1.4, identificándose impedancias, voltajes y corrientes.

Figura 1.4. Línea trifásica incluyendo el efecto de retorno por tierra.

 

 

De la Figura 1.4, se observará que:

 

                                                                                                    (1.22)

 

y las caídas de tensión, en la dirección dada a las corrientes, se expresan como sigue:

 

 

                                                                  (1.23)

 

 

Extendiendo al caso trifásico lo visto en la sección anterior, se tiene:

 

Además, se conoce el valor de , y partiendo de estas condiciones, puede establecerse el siguiente sistema de ecuaciones:

 

                                                                                          (1.24)

 

 

y en forma más compacta, la ecuación anterior puede escribirse como:

 

                                                                                                                       (1.25)

 

donde las impedancias definidas en (1.24), de acuerdo a la ecuación (1.10), pueden calcularse tal como se muestra a continuación. Para las impedancias serie propias de cada fase:

 

                                                                  (1.26)

 

Además, para las impedancias serie mutuas entre fases, se tiene la expresión siguiente:

 

                                                           (1.27)

 

En ambos casos, las unidades estarán dadas en W/ul.

 

1.2.4.1    Impedancia Serie de una Línea Trifásica con Hilos de Guarda

 

Por lo general, en líneas que operan a voltajes mayores de 23 kV, se colocan conductores arriba de los correspondientes a cada una de las fases y aterrizados en cada subestacion, con la finalidad de proteger a la línea contra descargas atmosféricas. La Figura 1.5 representa una línea de estas características conteniendo dos hilos de guarda. Por simplicidad, las impedancias resultado de los efectos mutuos entre todos los conductores no se muestran.

 

Para este circuito, el conjunto de ecuaciones que resulta es el siguiente:

 

                                                                              (1.28)

Figura 1.5. Línea trifásica con dos hilos de guarda.

 

 

Nótese que en las ecuaciones (1.28) ya se ha realizado el proceso de reducir el efecto de retorno por tierra y donde cada elemento de las mismas se determina ya sea con la ecuación (1.26) o la (1.27). Considerando la partición matricial mostrada en (1.28) y compactando cada bloque submatricial, se obtiene:

 

                                                                                                               (1.29)

 

 

El objetivo es que, a partir de (1.29), se obtenga un modelo matricial equivalente trifásico. Esto significa que se debe obtenerse un conjunto de ecuaciones que incluya únicamente a las fases a, b, c,  y que, además, tenga incluidos los efectos de los conductores de guarda. Para esto, se aplica el procedimiento que se describe a continuación.

 

De la Figura 1.5, se observará que los voltajes de los conductores de guarda son iguales a cero. Si se realiza la operación indicada en (1.29), se obtiene:

 

                                                                                                   (1.30)

 

Resolviendo el segundo renglón para :

 

                                                                                                       (1.31)

 

Substituyendo (1.31) en la primera expresión de (1.30):

 

                              

 

Factorizando a :

 

                                                                                           (1.32)

 

La ecuación (1.32) también puede escribirse en forma simplificada como:

 

                                                

 

de donde:

 

                                                                      (1.33)

 

 

Podrá observarse que el conjunto de ecuaciones (1.28), se ha reducido de cinco renglones a tres. El efecto de los conductores de guarda está representado por el término negativo de (1.32). Este procedimiento es aplicable también a cualquier número de circuitos con cualquier número de hilos de guarda. La única condición es que los voltajes de la parte inferior del vector correspondiente a los voltajes sea igual a cero.

 

Posteriormente, se mostrará como el método de eliminación Gaussiana aplicado parcialmente a la matriz de impedancias en (1.28) es equivalente.

 

 

1.2.4.2    Impedancia Serie de Líneas Trifásicas con Conductores Agrupados en Cada Fase

 

 

Los conductores agrupados en cada fase permiten el transporte de altas cantidades de energía, reduciendo el problema del efecto corona y las pérdidas por transmisión. En caso de que se utilizara un conductor único en cada fase, éste tendría que ser de un calibre que, desde un punto vista de esfuerzos mecánicos, sería impráctico.

 

La Figura 1.6 ilustra la secuencia para resolver el problema de modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados en cada fase. Por otro lado, la Figura 1.7 muestra el circuito representativo, en este caso, para la fase a de la línea. Es de suponerse que para las demás fases los circuitos serán semejantes y, además, estarán acoplados entre sí.

 

 

Figura 1.6. Gráfica de la secuencia para modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados por fase.

 

 

 

Figura 1.7. Conductores agrupados para la fase a.

 

 

Utilizando las ecuaciones (1.26) y (1.27), puede calcularse la matriz de coeficientes para el siguiente conjunto de ecuaciones:

 

                                                                (1.34)

 

 

De la Figura 1.7, puede observarse las siguientes relaciones de corriente: 

 

 

así como también las siguientes relaciones de voltaje:

 

 

Entonces, efectuando las restas indicadas, el conjunto de ecuaciones (1.34) se modificará y, en forma compacta, resultará en el siguiente:

 

                                                                                               (1.35)

 

donde:

 

                                                                                                     (1.36)

 

                                                                         (1.37)

 

                                                                         (1.38)

 

                                                                                                 (1.39)

 

donde cada elemento de la submatriz anterior se determina mediante las expresiones:

 

                                                                                           (1.40)

 

Finalmente, la matriz equivalente trifásica  se calcula mediante la ecuación (1.33).

1.2.5    Filosofía General del Cálculo de Parámetros de Líneas de Transmisión

 

Para cada línea de transmisión con un solo circuito, una matriz de impedancias puede formarse tal como se muestra en la Figura 1.8.

 

Se considerará que los conductores de fase están integrados por un conductor principal y varios conductores agrupados. Entonces, la matriz de impedancias serie general debe construirse bajo el siguiente orden:

 

1.         Conductores principales.

2.         Conductores agrupados.

3.         Conductores de guarda.

 

Figura 1.8. Forma general de la matriz de impedancias serie.

 

 

Cuando la línea de transmisión sea del tipo multicircuitos, esto es, que la torre de transmisión soporte más de un circuito, o que se tengan varias torres sobre un mismo derecho de vía, entonces el orden anterior se modificará. Supóngase que se tienen dos circuitos A y B soportados en una misma torre de transmisión. En este caso, el orden para la formación de la matriz general de impedancias serie será como sigue:

 

1.         Conductores principales de A

2.         Conductores principales de B

3.         Conductores agrupados de A

4.         Conductores agrupados de B

5.         Hilos de guarda de A

6.         Hilos de guarda de B

 

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.

1.2.6    Aspectos Computacionales

 

El diagrama de bloques para calcular las impedancias serie de líneas de transmisión mediante un programa de computadora digital, se muestra en la Figura 1.9.

                        Figura 1.9. Diagrama de bloques de un programa de computadora digital para el

                                          cálculo de impedancias serie de líneas de transmisión.

 

 

A continuación, se describe en detalle cada bloque, marcando las especificaciones generales que cualquier programa de computadora digital de este tipo debe contener.

 

 

1.2.6.1   Lectura de Datos

 

Los datos que deben alimentar al programa son los siguientes:

 

·        Número total de conductores

·        Numero de hilos de guarda

·        Resistencia en W/ul de cada conductor

·        Radio medio geométrico de cada conductor

·        Coordenadas geométricas de cada conductor

·        Frecuencia

·        Resistividad del terreno

·        Unidad de longitud deseada

 

 

1.2.6.2    Formación de la Matriz de Distancias Entre Conductores

 

Los elementos de la matriz de distancias pueden calcularse mediante la siguiente ecuación:

                                                                    (1.41)

 

donde:

 

            xi,  xj  =  coordenadas horizontales de los conductores i  y  j,  respectivamente.

            yi,  yj  =  coordenadas verticales de los conductores i  y  j,  respectivamente.

 

Podrá observarse que Dij = Dji, de modo que es suficiente formar una matriz de distancias entre conductores triangular superior o inferior, sin incluir la diagonal.

 

 

1.2.6.3    Cálculo de la Matriz General de Impedancias Serie

 

Como ya se mencionó anteriormente, el orden de la matriz será igual al número total de conductores que formen la línea de transmisión. Los elementos de la diagonal se determinan con la ecuación (1.26) y los no diagonales mediante la ecuación (1.27).

 

 

1.2.6.4    Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados en las Fases

 

Aplicando la ecuación (1.33) se obtiene el equivalente trifásico de la impedancia serie de la línea de transmisión. Adicionalmente, puede obtenerse este equivalente mediante una eliminación Gaussiana parcial. Para esto, primeramente se reduce los hilos de guarda y, posteriormente de aplicar las ecuaciones (1.38)-(1.39), se reducirá los conductores agrupados en las fases. Este último paso puede representarse esquemáticamente como sigue.

 

Primeramente, se tiene la matriz de impedancias por bloques de la ecuación (1.35):

 

                                                                                                        (1.42)

 

Entonces, aplicando el proceso de eliminación Gaussiana parcial, esta matriz por bloques se modifica a la siguiente:

 

                                                                               (1.43)

 

donde el equivalente trifásico de las impedancias serie de la línea estará dado por:

 

                                                                                                                        (1.44)

1.3   ADMITANCIA EN PARALELO DE LINEAS DE TRANSMISION

 

 

La admitancia en paralelo de líneas de transmisión está formada básicamente por dos parámetros: conductancia y capacitancia. Sin embargo, el primero de ellos se desprecia por las razones que se describen a continuación.

 

 

1.3.1    Conductancia de Líneas de Transmisión

 

Concretamente, para este parámetro todavía no existe un modelo matemático preciso y con la simplicidad apropiada para poderlo manejar. Este parámetro resulta de la observación de las “corrientes de fuga” describiendo una trayectoria de las fases a tierra. Principalmente, estas corrientes fluyen a través del aislador hacia la torre, siendo función de la eficiencia del aislador, la cual varía significativamente con el calor, humedad atmosférica, contaminación y salinidad del ambiente, entre otros factores. Por esta razón, obtener un modelo matemático representativo de este fenómeno, resulta una tarea compleja. Por otro lado, es común despreciar este el efecto de estas corrientes de fuga, debido a que representan un porcentaje muy pequeño con respecto a las corrientes nominales de la línea.

 

 

1.3.2    Capacitancia Monofásica

 

A partir de la ecuación de teoría de campo eléctrico:

 

                                                                                                       (1.45)

 

donde  = 8.854x10-12 F/m, q es la carga en Coulombs. De acuerdo a la Figura 1.10, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 está dada por:

 

                                                                                       (1.46)

 

donde es la permitividad del medio circundante.

Figura 1.10   Esquema para analizar la caída de potencial entre dos puntos.

 A partir de la ecuación (1.46), puede encontrarse la expresión para una línea monofásica, la cual se representa por la Figura 1.11.

 

Figura 1.11   Línea monofásica para el análisis de capacitancias

 

 

La diferencia de potencial entre los dos conductores es la siguiente:

 

                                                                                       (1.47)

 

y sabiendo que  , la ecuación anterior se simplifica como sigue:

 

                F/m                                                                                 (1.48)

 

Por definición, la capacitancia es:

 

               F/ul                                                                                                   (1.49)

 

substituyendo (1.48) en (1.49), y considerando que   = r,

 

                  F/m                                                                                 (1.50)

 

 

1.3.3    Capacitancia para Líneas de Transmisión

 

En esta sección, se presentará el método general para determinar capacitancias para una línea con cualquier número de conductores, incluyendo hilos de guarda y considerando el efecto de tierra.

 

La Figura 1.12 muestra el esquema de cargas-imágenes, para considerar el efecto de tierra en el cálculo de capacitancias. Con este método, los voltajes involucrados se determinan mediante la ecuación siguiente:

 

                                                                                                   (1.51)

 

donde:

 

Hij = distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j. Si i = j, Hii es la distancia del

         conductor i a su propia imagen.

Dij = distancia entre los conductores i y j. Si i = j, Dii es el radio exterior del conductor i.

 qj =  carga del conductor j.

 

Figura 1.12    Conductores con sus respectivas imágenes, representados por cargas.

 

 

La ecuación (1.51) puede compactarse para obtener:

 

                                                                                                                          (1.52)

 

donde V es el vector de voltajes, P es una matriz de coeficientes de potencial y q es el vector que contiene a las cargas. La matriz de coeficientes de potencial se define como:

 

               F-1 m                                                                      (1.53)

 

donde  ri  es el radio exterior del conductor  i.  Si la ecuación anterior se escribe en la forma siguiente:

 

               coul/m                                                                                             (1.54)

 

se podrá definir:

 

                  F/ul                                                                                                 (1.55)

 

En términos fasoriales, para la densidad de carga Q y el voltaje V, la ecuación (1.54) se escribe como:

 

                                                                                                                         (1.56)

 

multiplicando ambos miembros por jw:

 

                                                                                                        (1.57)

 

y sabiendo que  I = YV, entonces

 

                                                                                                                        (1.58)

 

donde Y, en este caso, es la admitancia en paralelo de la línea de transmisión.

 

 

1.3.4     Aspectos Computacionales

 

 

La matriz de coeficientes de potencial P se maneja en la misma forma que la matriz de impedancias serie, desde que se forma hasta que se obtiene su equivalente trifásico. Se debe notar que la matriz P, para fines computacionales, será considerada como real. A diferencia de la matriz de impedancias, se requiere de la inversión matricial (1.55) y multiplicar por jw para obtener la matriz de admitancias equivalente. Esto puede observarse en la Figura 1.13. Los detalles de cada bloque se describen a continuación.

 

 

1.3.4.1    Lectura de Datos

 

 

Bajo la suposición de que en un mismo programa de computadora se calculan todos los parámetros de la línea de transmisión, el único dato adicional, con respecto a los definidos para la impedancia serie, es el radio exterior de los conductores.

 

 

Figura 1.13   Diagrama de bloques para el cálculo de la matriz de admitancias en

                                             derivación Yabc, para líneas de transmisión trifásicas.

 

 

1.3.4.2     Formación de la Matriz de Distancias

 

Las distancias se calculan en base a las coordenadas geométricas de los conductores. Considerando como referencia a la tierra para el eje vertical, entonces, la fórmula para encontrar tales distancias es:

 

                                                                                    (1.59)

 

 

1.3.4.3     Construcción de la Matriz de Coeficientes de Potencial

 

Para un programa de computadora, las ecuaciones (1.53) pueden rescribirse de la manera siguiente:

 

                   F-1 m                                                                      (1.60)

 

donde  k’  puede tener los valores mostrados en la Tabla 1.2. El orden de la matriz será igual al número total de conductores de la línea.

 

                            Tabla 1.2.  Constantes para capacitancias en  nF/ul 

Constante

Unidad de Longitud

Logaritmo Natural

Logaritmo Base 10

k’

 

 

(1/3) k’

 

km

mi

 

km

mi

55.630

89.525

 

18.543

29.842

24.159

38.880

 

  8.053

12.960

f = 50 Hz

f k’

 

 

wk’

 

 

km

mi

 

km

mi

 

2781.49

4476.24

 

17476.57

28125.04

 

1207.97

1943.99

 

  7589.90

12214.42

f = 60 Hz

f k’

 

 

wk’

 

 

km

mi

 

km

mi

 

3337.78

5317.49

 

20971.89

33750.07

 

 1449.57

 2309.33

 

  9107.88

14657.32

             nota:  n = nano =10-9.

 

 

1.3.4.4     Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados

 

Este proceso se ejecuta en forma similar al descrito en la sección correspondiente a los parámetros serie.

 

1.3.4.5     Cálculo de la Matriz Yabc.

 

La matriz de admitancias en derivación trifásica, se obtiene al invertir la matriz de coeficientes de potencial reducida, y multiplicándola por el término  jw, tal como lo muestran las ecuaciones (1.55) y (1.58). El orden de la matriz por invertir es de 3, únicamente. La forma general de la matriz de admitancias en derivación será la siguiente:

 

                                                                                        (1.61)                

 

y las unidades pueden ser mhos (W-1) o submúltiplos de mhos/ul. Las más usuales son dadas en micromhos/milla y micromhos/kilometro. Los signos de los elementos en (1.61) se deben a que todos los elementos de la matriz de coeficientes de potencial P son positivos.

1.4    TRANSPOSICION DE CONDUCTORES EN LINEAS DE TRANSMISION

 

 

Hasta este momento, se ha calculado los parámetros de la línea de transmisión en base a sus unidades correspondientes, por unidad de longitud. En esta sección, se obtendrá los parámetros considerando la longitud de la línea, a fin de observar el efecto de las transposiciones sobre los mismos.

 

A manera de ilustración, únicamente se observa el efecto de la transposición sobre la impedancia serie, debido a que su efecto sobre la admitancia en derivación es similar.

 

El equivalente trifásico de la impedancia serie relacionando voltajes y corrientes es el siguiente:

 

 

                                                                                          (1.62)

 

 

Aquí, es clara la existencia de acoplamientos mutuos, de modo que las corrientes de cualquier conductor producirán caídas de tensión en los conductores adyacentes. Además, estas caídas de tensión pueden ser diferentes entre sí, aun para corrientes balanceadas, debido a que las impedancias mutuas dependen del arreglo físico de los conductores de la línea.

                                                                                                          

Únicamente se tendrá un efecto balanceado de los acoplamientos mutuos cuando la línea tenga un espaciamiento triangular equilátero, es decir, que Dab = Dbc = Dca. Sin embargo, este tipo de arreglo es pocas veces utilizado en la realidad, debido a cuestiones del diseño mecánico de la línea.

 

Otra manera para balancear las impedancias mutuas consiste en la realización de  transposiciones a lo largo de la línea. Una transposición es una rotación física de los conductores que puede ejecutarse a intervalos regulares o irregulares de la distancia total de la línea.

 

 

1.4.1     Método General de Transposiciones

 

 

Este método permite obtener parámetros de la línea con cualquier número de transposiciones y a cualquier distancia que se desee para cada transposición, tal como muestra la Figura 1.14, donde se presenta la transposición completa de la línea consistente en dos rotaciones.

Figura 1.14  Esquema de la transposición completa de una línea de transmisión.

 

 

Matemáticamente, para lograr las rotaciones se utiliza las dos matrices de rotación siguientes:

 

                                                                                                             (1.63)

 

y su inversa:

 

                                                                                                           (1.64)

 

pudiéndose comprobar que Rf-1 = Rft.

 

 

Un ciclo completo de transposición está dado por las transformaciones lineales definidas como:

 

Rf Vabc = (Rf Zabc Rf-1 )Rf Iabc                                                                                           (1.65)

 

que es llamada “Transformación Rf”. Además,

 

Rf -1 Vabc = (Rf-1 Zabc Rf )Rf-1 Iabc                                                                                      (1.66)

 

la cual es conocida como “Transformación Rf-1”.

 

 

Si se desea analizar el efecto de la transposición, sin tomar en cuenta la longitud S de la línea, entonces se define lo siguiente para un ciclo completo:

 

                                                                                                   (1.67)

 

donde:

 

                                                                                                                       (1.68)

 

 

Partiendo de la Figura 1.14, el cálculo de parámetros con transposiciones, para cada una de las secciones es como sigue:

 

Primera sección:

 

Z(1) = (Zabc) (s1)        W                                                                                                    (1.69)

 

Segunda sección:

 

Z(2)  = (Rf-1 Zabc Rf) (s2)      W                                                                                          (1.70)

 

Tercera sección: 

 

Z(3)  = (Rf Zabc Rf-1 ) (s3)      W                                                                                          (1.71)

 

Por último, se tendrá la impedancia serie total de la línea de transmisión:

 

Zabc = Z(1) + Z(2) + Z(3)         W                                                                                          (1.72)  

 

 

De acuerdo a lo anterior, puede observarse que con este método puede calcularse transposiciones en cantidades y longitudes que se desee.

 

 

1.4.2     Línea No Transpuesta

 

 

La Figura 1.15 muestra una línea no transpuesta. El modelo matricial permite observar que el mayor grado de desbalance que puede existir entre los acoplamientos mutuos se presenta en este caso, cuya impedancia serie de la línea, considerando su longitud, se determina como sigue:

 

Figura 1.15   Línea No Transpuesta

 

 

s1  = S                                                                                                                               (1.73)

 

s2  =  s3 = 0                                                                                                                      (1.74)

 

Zabc = Z(1)                                                                                                                        (1.75)

 

 

 

1.4.3     Línea Con Transposiciones Parciales

 

Una transposición parcial es la que resulta de dividir a la línea en solo dos secciones de longitud y haciendo una rotación, tal como lo muestra la Figura 1.16.

Figura 1.16  Línea de transmisión con transposición parcial.

 

En este caso,

 

S =  s1 + s2                                                                                                                         (1.76)

 

s3 = 0                                                                                                                               (1.77)

 

Zabc = Z(1)  + Z(2)                                                                                                              (1.78)

 

donde, la rotación se logra aplicando las ecuaciones (1.69) y (1.70), para calcular Z(1)  y Z(2) , respectivamente. Si se aplica la ecuación (1.71) en lugar de la (1.70), se logrará el mismo efecto, pero con una rotación en sentido opuesto.

 

El grado de desbalance para el caso de líneas con transposiciones parciales será menor que en el caso de tener una línea no transpuesta, debido a que una rotación ayuda considerablemente al balanceo de los efectos mutuos.

 

En general, los resultados de las dos secciones anteriores serán los siguientes:

 

                                                                                                (1.79)

 

donde:

 

                                                                                 (1.80)

 

Las transposiciones completas de línea son las que permiten balancear perfectamente los efectos propios y mutuos. Sin embargo, cualquier tipo de transposición, ya sea parcial o total, económicamente resultará costosa, además de que los desbalances en los acoplamientos mutuos son relativamente pequeños, por lo que normalmente las líneas no se transponen, aun cuando los modelos matemáticos consideren balanceados los efectos mutuos.

 

Ante una transposición ideal, se tendrá el siguiente modelo trifásico de la línea de transmisión:

 

                                                                                                   (1.81)

 

 

Para todos los casos anteriores, se obtiene un modelo trifásico de los efectos serie y derivación de la línea de transmisión. Sin embargo, cuando se tiene el caso de dos líneas de transmisión sobre un mismo derecho de vía o dos o más líneas físicamente cercanas entre sí, el modelo que se obtiene será de orden mayor tal como se describe en la siguiente sección.

1.5    NEA DE TRANSMISIÓN CON CIRCUITOS MULTIPLES

 

 

Cuando una línea de transmisión contiene dos o más circuitos en paralelo, entonces se habla de un sistema de transmisión de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas, las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente:

 

                                                                                                                    (1.82)

 

donde:

 

 ;       ;                   (1.83)

 

 

El orden del conjunto de ecuaciones (1.82) será de 3 veces el número de circuitos múltiples. Por ejemplo, para una línea con dos circuitos múltiples, el modelo matricial será de orden 6.

 

 

Como se explicó anteriormente, ante la presencia de circuitos múltiples se tiene que construir el modelo matricial de la siguiente manera:

 

1.         Conductores principales de A

2.         Conductores principales de B

3.         Conductores agrupados de A

4.         Conductores agrupados de B

5.         Hilos de guarda de A

6.         Hilos de guarda de B

 

 

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.

 

 

 

 

1.6     TRANSFORMACIÓN LINEAL DE COMPONENTES SIMÉTRICAS

 

 

Esta transformación, definida desde un punto de vista práctico, en función de fasores, por C.L. Fortescue en 1918, puede justificarse matemáticamente, aplicando la teoría de transformaciones lineales.

 

 

1.6.1   Cambio del Marco de Referencia  de Fases al Marco de Referencia de Secuencias

 

Considerando que se tiene un sistema trifásico balanceado perfectamente, cuya matriz de coeficientes es la siguiente:

 

                                                                                                   (1.84)

 

Una transformación lineal permite trasladar un conjunto de ecuaciones definido en un marco de referencia a otro. Por ejemplo, en el “marco de referencia de circuitos trifásicos”, el modelo matricial que relaciona voltajes y corrientes es:

 

                                                                                                              (1.85)

 

El cual puede trasladarse al “marco de referencia de las componentes simétricas”, aplicando la transformación lineal siguiente:

 

 

o también,

 

 

Premultiplicando ambos miembros por :

 

 

y de aquí,  se obtiene que:

 

                                                                                                              (1.86)

 

donde:

 

                                                                                                         (1.87)

 

Entonces, el problema para pasar de un marco de referencia a otro consiste en encontrar la matriz de transformación, de modo que se obtenga alguna ventaja con respecto al marco de referencia original, ya sea en cuestión de conceptos o de simplificación de la resolución de problemas de redes eléctricas.

 

 

1.6.2    Obtención de la Matriz de Transformación de Componentes Simétricas

 

 

Se conoce que dos matrices, A y B, están relacionadas por medio de la transformación lineal siguiente:

 

                                                                                                                   (1.88)

 

o viceversa,  y también, se conoce que los valores propios o eigenvalores de ambas matrices serán los mismos. Por esta razón, se dice que A y B son semejantes y que (1.88) se conoce como transformación de similaridad o semejanza. Si la matriz A, por ejemplo, es de la forma diagonal:

 

 

Entonces, el determinante característico se calcula de acuerdo al teorema de Cayley-Hamilton como:

 

 = p(λ) = 0

 

el cual al desarrollarlo, resulta en:

 

 

donde U es la matriz identidad o unitaria. Si se iguala a cero este determinante característico, se obtiene el polinomio característico del arreglo matricial, que al resolverlo se obtendrán sus respectivas raíces llamadas también valores propios. Es decir, si

 

 

entonces, se tiene:

 

 

Puede concluirse que los valores propios de una matriz completamente diagonal son precisamente sus correspondientes elementos diagonales.

 

Ahora bien, si se requiere substituir una red trifásica por un sistema equivalente de redes desacopladas, entonces, se deberá obtener una matriz completamente diagonal, a partir de una matriz original Zabc, utilizando la transformación lineal (1.88). Esto obliga a pensar en obtener una matriz de transformación T de modo que la matriz semejante a Zabc, llamada matriz de componentes simétricas, denotada como Z012, sea completamente diagonal.

 

En términos generales, un circuito trifásico puede representarse matricialmente en la forma siguiente:

 

 

donde los elementos no diagonales representan los acoplamientos mutuos entre fases y los diagonales son las impedancias propias de cada una de las fases. Si se supone que el circuito trifásico esta perfectamente balanceado, entonces Zabc se simplifica a la matriz:

 

 

El correspondiente determinante característico de este modelo matricial será el siguiente:

 

 

Al desarrollar este determinante e igualarlo a cero, se obtiene el polinomio característico correspondiente y cuyas soluciones son:

 

                                                                                                               (1.89)

 

Para determinar la matriz de transformación lineal, Ts, debe calcularse los eigenvectores o vectores propios, los cuales representarán cada columna de la misma. Cada vector propio es la solución de un sistema de ecuaciones homogéneo  [liU - Zabc]=0. En este caso, se tienen tres valores propios, de modo que se resolverán tres sistemas de ecuaciones de este tipo.

Para cuando se aplica  l1 = Z + 2M, se tiene el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente:

 

 

Dividiendo el conjunto de ecuaciones entre M:

 

 

Al aplicar operaciones elementales de renglón, se reducirá este conjunto de ecuaciones a un triangular superior:

 

 

el cual tiene un número infinito de soluciones, incluyendo la trivial, donde cada una cumple que  x11 = x21 = x31, de donde se obtiene que este vector propio será:

 

 

y se podrá observar que un caso particular es el siguiente:

 

 

Repitiendo el mismo proceso para  l2 = Z-M,  se obtiene el conjunto de ecuaciones homogéneo:

 

 

Dividiendo entre -M y aplicando operaciones elementales de renglón, el conjunto de ecuaciones anterior se reduce a:

 

 

el cual tiene un número infinito de soluciones, donde cada una de ellas estará definida por una combinación que cumpla con la igualdad  . Por ejemplo, este vector propio podría ser:

 

, etc.

 

Debe mencionarse que una característica que debe tener la matriz de transformación es que es invertible, de modo que los vectores propios que la conforman deben ser linealmente independientes. Normalmente, para que esto ocurra, los valores propios deben ser distintos entre sí. En caso contrario, no será posible obtener una matriz semejante diagonal. Sin embargo, en este caso en particular, l2 = l3, aunque, debido a que se tiene dos grados de libertad para seleccionar valores, es posible definir dos vectores propios.

 

Para el modelo trifásico perfectamente balanceado, se define la matriz de transformación lineal:

 

                                                                                                         (1.90)

 

donde . La inversa de Ts ,  será:

                                                                                                  (1.91)

 

Anteriormente, se mencionó que el objetivo era encontrar una matriz diagonal representativa del sistema trifásico original mediante tres circuitos monofásicos independientes o desacoplados entre sí.

 

Para ello, puede formalmente plantearse el problema de pasar de un sistema de coordenadas de fase (abc) al sistema de coordenadas de secuencia (012). En este caso, se parte de la relación lineal:

 

 

a la cual se le aplica la regla de transformación lineal, usando como matriz de transformación a la matriz de componentes simétricas Ts:

 

 

Premultiplicando ambos lados de la expresión anterior por :

 

 

y en términos de las coordenadas de secuencia:

 

 

donde:

 

                                                                                                         (1.92)

 

Es fácilmente demostrable que realizando el producto matricial anterior, se obtiene una matriz diagonal de la forma:

 

                                                                               (1.92)

 

donde se nota que los elementos diagonales son exactamente los valores propios de Zabc. La matriz (5.10) representará tres circuitos monofásicos desacoplados electromagnéticamente entre sí. Este concepto se ilustra en la Figura 1.17, donde se muestra un circuito trifásico y sus respectivas redes de secuencia monofásicas y desacopladas.

Figura 1.17   Red trifásica y redes monofásicas de secuencia desacopladas.

 

 

1.6.3     Transformación de un Sistema Trifásico de Circuitos Múltiples

 

Cuando una red eléctrica contiene dos o más circuitos trifásicos acoplados magnéticamente, entonces se habla de un sistema trifásico de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente:

 

 

donde:

 

 

 

Mediante una transformación lineal, puede establecerse que:

 

 

 

donde:

 

                                                                                                          (1.93)

 

Los vectores de voltaje y corriente de secuencia serán los siguientes:

 

                                                                                         (1.94)

 

De manera similar al caso del circuito trifásico único, se tiene la expresión relacionando voltajes y corrientes de secuencia:

 

 

donde:

 

                                                                                                                 (1.95)

 

En este caso, se tiene un modelo matemático en el marco de referencia de fase, caracterizado por acoplamientos mutuos entre fases, el cual se convierte en varios circuitos desacoplados entre sí, al pasar al marco de referencia de secuencias.

 

Sin embargo, debe recordarse que la transformación de componentes simétricas se obtiene partiendo de un modelo de circuito trifásico perfectamente balanceado. Esto implica que para modelos que no cumplan con esta condición, el desacoplamiento de los circuitos de secuencia no será total. De hecho, una situación típica se presenta al aplicar la transformación al modelo de una línea con circuitos múltiples, donde se observa un fuerte acoplamiento entre las componentes de secuencia cero.

 

El tratamiento de las transposiciones para líneas de transmisión con múltiples circuitos, es semejante a la aplicación de la transformación de componentes simétricas, es decir, las transformaciones lineales se aplican en forma de bloques diagonales, cuyo número dependerá de los circuitos múltiples involucrados.

 

 

 

 

 

 

Figure 2.8.3 Structure of the transmission line for example 2.

 

 

 

 

 

Where:

 

 

 

 

Where:

Zs=Tp-1ZpTp

 

 

A similar approach may be used for the Clarke-component transformation.

 

 

 

 

 

Figure2.13.1 Configuration of transmission line for example 4.