CAPITULO  2

 

MODELADO DE TRANSFORMADORES MONOFASICOS

 

 

Antes de aplicar el modelado de transformadores al análisis de sistemas eléctricos, debe explicarse la manera en que sus parámetros son obtenidos. Mucho se ha escrito acerca del modelado de transformadores monofásicos de dos devanados. Sin embargo, es conveniente partir de una breve revisión de este tema, de modo que estos conceptos sean extendidos mediante teoría fundamental de circuitos hacia el análisis de circuitos trifásicos balanceados o desbalanceados.

 

2.1 TRANSFORMADOR MONOFÁSICO CON

      RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN NOMINAL

 

Considere el circuito de la Figura 2.1, representando un transformador monofásico ideal, donde cada devanado tiene su propia impedancia y además existe un acoplamiento mutuo entre ambos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 2.1  Dos circuitos acoplados magnéticamente, representando un transformador monofásico.

 

Las relaciones de corriente y voltaje son las siguientes:

 

 

 

En forma matricial:

 

                                                                                                   (2.1)

 

de donde se obtiene:

 

                                                             (2.2)

 

En la realidad, los coeficientes de acoplamiento son tan altos en transformadores de uso común, que la inversa de la matriz de impedancias es numéricamente inestable, es decir, en valores por unidad,  y  son apenas mayores que . Entonces, las pruebas de parámetros de circuito abierto y de corto circuito serán útiles para modelar adecuadamente un transformador. Por tanto, un conjunto híbrido de mediciones se realiza, incluyendo las mediciones de circuito abierto y de corto circuito.

 

Para el desarrollo de un modelo de transformador, es necesario tener una buena aproximación de los parámetros en por unidad. Estos se obtienen insertando la impedancia de corto circuito, ,  y la de circuito abierto, ,  en un circuito p representando al circuito de la Figura 2.1. El circuito resultante es el mostrado en la Figura 2.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 2.2  Circuito p equivalente en por unidad del circuito de la Figura 2.1.

 

 

Ahora, se establece una relación de voltajes y corrientes nodales, representada por la siguiente ecuación matricial:

 

 

                                                               (2.3)

 

 

donde:

 

                              

 

 

La asignación de cada parámetro es arbitraria. En este caso,  representa a la admitancia de magnetización, la cual usualmente, en el sistema por unidad, puede despreciarse, de modo que el modelo del transformador monofásico se reduce a un circuito p incluyendo a la admitancia  únicamente. Sin embargo, aun en este caso, en el sistema en por unidad los errores en los que se puede incurrir son despreciables.

 

El uso de una red como la de la Figura 2.3 está restringido a la representación monofásica y considerando una relación de transformación nominal. A continuación, se desarrolla el circuito equivalente del transformador con relación no nominal.

 

 

2.2    TRANSFORMADOR MONOFÁSICO CON

        CAMBIADOR DE DERIVACIÓN NO NOMINAL

 

La Figura 2.3 muestra el circuito representando un transformador con relación de voltaje no nominal. En este caso, solamente se considera la impedancia de encadenamiento de flujos entre los devanados primario y secundario.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 2.3  Circuito de un transformador monofásico con relación de transformación no nominal y compleja.

 

 

De  la figura de arriba, .  Además, por definición,

 

                                                                                                                        (2.4)

 

En función de potencias:

 

                                                                                                              (2.5)

 

donde el signo menos aparece debido al sentido de la corriente en el devanado del secundario del transformador, con respecto a su voltaje. Por otra parte,

 

                                                                                                                      (2.6)

 

 

Definiendo en el sistema en por unidad:

 

                                                                                                                     (2.7)

 

entonces,

 

 

y la expresión  (2.4)  puede escribirse en términos de valores por unidad:

 

                                                                                                            (2.8)

 

o también,

 

        pu                                                                                                            (2.9)  

 

donde:

 

      pu                                                                                                    (2.10)

 

Similarmente,

 

      pu                                                                                                           (2.11)  

 

En el marco de referencia nodal:

 

 

 

donde, a partir de la Figura 2.3, se puede observar que:

 

,  ,   ,  

 

Cada uno de los términos de la matriz de admitancias nodal puede calcularse mediante “mediciones” en la forma siguiente:

                                               (2.12)

 

 

Además, , de modo que por la ecuación (2.9), . Por tanto, . Substituyendo en la expresión anterior,

 

                                                                          (2.13)

 

                                                            (2.14)

 

                                                                                              (2.15)

 

Nótese que la matriz de admitancias nodal no es simétrica, puesto que . Para cuando , entonces la matriz de admitancias nodal será simétrica, tal como se observa de las expresiones anteriores. En este caso, el circuito p equivalente será el mostrado en la Figura 2.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 2.4   Circuito p equivalente del circuito acoplado magnéticamente de la Figura 7.3.

 

 

Nótese que en caso de que , los elementos en derivación de la Figura 2.4 desaparecen y queda únicamente la admitancia serie conectando a los nodos terminales del transformador.

 

2.3     MODELO DEL TRANSFORMADOR MONOFÁSICO CON

         CAMBIADOR DE DERIVACIÓN NO NOMINAL EN CADA DEVANADO

 

Los modelos de transformadores descritos hasta este momento, no consideran el hecho de que en un momento dado puede existir una relación de transformación adicional, como en el caso de los transformadores trifásicos o bancos monofásicos conectados en estrella-delta o delta-estrella. Para estos casos, es conveniente aplicar un método de modelado un poco más complejo, pero que permite modelar adecuadamente transformadores que operan bajo estas condiciones. Para esto, se considera el modelo de la Figura 2.5, donde el transformador se modela como un transformador de tres devanados.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 2.5  Circuito de un transformador con cambiador de derivación no nominal en cada devanado.

 

 

Para esta figura, la corriente en el nodo p es la siguiente:

 

                                                                                                  (2.16)

 

Además,

 

;  

 

Substituyendo en (2.16):

 

 

o también,

                                                                                       (2.17)

 

Por otra parte,

 

 

entonces,

 

                                                                                    (2.18)

 

En forma matricial:

 

                                                                        (2.19)

 

 

2.4    TRANSFORMADORES DESFASADORES

 

Para cumplir con el objetivo de controlar el desfasamiento entre los nodos primario y secundario de un transformador, es necesario que la relación de transformación sea compleja. Además, será necesario observar la invariancia del producto  a través del transformador. De la Figura 2.5 se tiene:

 

                                                                                                              (2.20)

 

Suponiendo que la relación compleja es    y utilizando además la relación:

 

 

 

de donde:

 

 

Substituyendo en (2.20),

 

 

o también,

 

y de aquí,

 

                                                                                                     (2.21)

 

Entonces, resulta claro que existen dos relaciones de transformación para el circuito de la Figura 2.5:

 

                                                                                                                                    (2.22)

 

Resolviendo ahora el circuito para corrientes en terminales:

 

 

Efectuando operaciones, resulta lo siguiente:

 

                                                                                         (2.23)

 

Además,

 

 

o también,

 

                                                                               (2.24)

 

Matricialmente, las relaciones anteriores se escriben de la manera siguiente:

 

                                                                    (2.25)

 

donde la matriz de coeficientes es la matriz de admitancias nodal del transformador de la Figura 2.5, considerando una de las relaciones de transformación como compleja, a fin de incluir el efecto del desfasamiento. Debe notarse que en este caso la matriz de admitancias nodal es asimétrica, de modo que se requerirá de cuidados adicionales para su manejo.